O tangram e a GEOMETRIA

Enem – Geometria (2): Questão utiliza uma característica do tangram…

Neste artigo, analisaremos a Questão 21 da prova amarela de matemática do Enem 2008. A resolução dessa questão exige conceitos básicos de geometria, bem como observar, cuidadosamente, a posição das peças em cada figura.

É essencial perceber que os formatos das três figuras, produzidos pelas sete peças, são diferentes – mas produzem áreas iguais. Essa é uma das características do tangram, um jogo que permite não só brincar com a produção das forma…

Na Figura 2, percebemos que o lado AB, que é igual a 2 cm, é composto por dois segmentos iguais que correspondem, respectivamente, ao lado do quadrado e ao cateto do triângulo retângulo. Mas como chegamos a essa conclusão?

Olhando para Figura 1 e observando que esse cateto está encostado em um dos lados do quadrado, o que também nos permite concluir que os lados do quadrado e do cateto possuem medidas iguais a 1 cm. A partir desses dados, calculamo…

O triângulo retângulo isósceles possui catetos iguais, sendo que um corresponde ao comprimento da base – e o outro, a uma altura que é relativa a essa base. Informação, aliás, que facilita o cálculo da área: … –

Realizada essa etapa, obtemos a área de três figuras, faltando, agora, as outras quatro. Observando a Figura 1 e a Figura 2, os mesmos segmentos que formam o lado AB do hexágono, que acabamos de utilizar no cálculo anterior,informam a medida dos catetos dos dois triângulos retângulos isósceles (maiores) que compõem a metade do quadrado da Figura 1.

As medidas dos catetos desses triângulos (verde) serão iguais a 2 cm – e permitirão o cálculo das ÁREAS:

Agora faltam duas figuras, sendo que uma é um triângulo retângulo isósceles (tamanho médio), enquanto a outra é um paralelogramo. Observando a Figura 2, vemos que a hipotenusa desse triângulo retângulo médio está encostada no cateto do triângulo retângulo maior – que, como vimos anteriormente, possui 2 cm de comprimento.

Assim, de maneira indireta, temos a informação da medida da hipotenusa do triângulo médio (azul) – e, portanto, o caminho para calcular as medidas dos seus catetos, aplicando o teorema de Pitágoras. Com essas medidas dos catetos, calculamos a área de cada triângulo:

Para terminar, na Figura 2, o lado menor do paralelogramo está encostado no quadrado – e, portanto, terá medida igual a 1 cm. Agora, a partir do conceito de que a área do paralelogramo é a multiplicação de um dos lados pela altura relativa ao lado que escolhemos para efetuar o cálculo, o desafio será descobrir a medida dessa altura a partir de uma das ilustrações.

Novamente, a Figura 1 é a chave para a informação. O encaixe da hipotenusa do triângulo retângulo pequeno com o lado maior do paralelogramo permite a projeção da altura para o cateto que está encostado no quadrado.

Assim, a medida da altura relativa do lado menor, com 1 cm, é também igual a 1 cm, concluindo que a área do paralelogramo é igual a um centímetro quadrado:

A resolução termina quando somamos a área das sete peças, o que indicará o valor da área da Figura 3, solicitada no problema, que, por sua vez, é igual às áreas das Figuras 1 e 2. A soma dará 8 cm2 – ou seja, a alternativa correta é a B.

Fonte: https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/enem—geometria-2-questao-utiliza-uma-caracteristica-do-tangram.htm

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