Problemas Resolvidos de Função Quadrática

1. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi?

Resolução:
Veja que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 representa uma parábola com a concavidade para baixo (a é menor que 0)
Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo:
t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15
Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.

Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):
t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.

Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.

2. Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

Resolução:
Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.
C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.

Vamos calcular as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
X(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60

Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.

3. Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:

Resolução:
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7

4. Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:

Resolução:
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura.
Temos:
Área = x.(x + 60)
Área = x² + 60x
Como existem 2800 pessoas e queremos 4 pessoas por m²:

2800 / (x²+60x) = 4

4.(x² + 60x) = 2800
4x² + 240x = 2800
4x² + 240x – 2800 = 0
Dividindo todos os membros por 4:
x² + 60x – 700 = 0

Utilizando as fórmulas de soma e produto:
Soma das raízes = -b/a = -60
Produto das raízes: c/a = -700
É fácil observar que as raízes são 10 e -60. Como x representa medida, descartamos o -60, e a resposta será 10 m.

5. Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real
f(x) = -x² + 7x – 10.

Resolução:
Como temos uma função quadrática, vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:
a = -1, b = 7, c = -1
Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
O valor máximo (pois a é negativo) é a média das raízes:
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5

6. Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.

Resolução:
Basta sabermos o valor de x que faz a função quadrática ter um valor máximo é a média aritmética das raízes:
Considerando que as raízes são -2 e k, e que a média deles é 5, temos:
(-2 + k)/2 = 5
-2 + k = 10
k = 10 + 2
k = 12

Como Montar um Programa de Estudo Eficaz em Matemática

Artigo de Thieres Machado

Nesse artigo você encontrara a proposta desse matemático: ele tem vídeos muito interessantes. Você pode usar as informações para estudar para provas, vestibulares e concursos. Acesse ao conteúdo clicando em: ARTIGO e encontre uma forma de montar programa de estudos ideal para você.

Dúvidas deixe sua pergunta, ok?

Problemas sem problema!!!

O maior drama dos estudantes de matemática é conseguir interpretar os problemas. Trago aqui 5 dicas valiosas para sanar o problema (em ambos sentidos, claro!!!)

#Dica 1: SEJA UM ALUNO DE ATITUDE

É muito, mas muito importante que antes de começar você de fato queira resolver o problema.
Seja proativo, muitos estudantes antes de ler o problema dizem que não sabem fazer. Sinceramente, para iniciar desse modo, não inicie. Procure antes pensar no bem que tal prática pode te trazer.
Por exemplo, se vai realizar alguma prova de concurso, pense que ao resolver problemas, você estará mais próximo de ser aprovado. (ENEM, DUDOW, ETC…)
A escolha é sua e somente sua, tenha VONTADE de agir. Olhe sempre para o lado positivo. Quais os benefícios que isso pode me trazer? Não vai ser fácil? ok… mas não será impossível também!!!

TENHA EM MENTE QUE:

  • você não precisa ser um gênio para aprender Matemática. Você só precisa querer e começar.
  • Você não precisa ter grandes habilidades em cálculo, não importa se tem ou não uma boa base em Matemática
  • não importa sua idade ou suas condições.
  • O mais importante é desenvolver a atitude necessária, isso vai te levar para mais perto do objetivo pretendido, que no caso é ter sucesso ao resolver problemas de Matemática.

#DICA 2: ESTUDE A TEORIA COM AFINCO

Todo problema de Matemática  envolve um conteúdo teórico e, se, pularmos  a parte que devemos estudar antecipadamente indo direto a resolução de exercícios não haverá eficiência na resolução. É aí que vem a dificuldade de interpretar o que se pede ficando com cara de “missão impossível”.

Geralmente a falta de conhecimento das definições, conceitos, propriedades relacionadas ao assunto que antecedem o problema causam esta dificuldade. ( Eu sei existem problemas que são complexos além da conta, mas isso é para um outro nível, mas que você será capaz de alcançar com seu empenho).

Portanto: estude cuidadosamente a teoria que envolve cada problema, procure por exemplos resolvidos e estude-os, porém não fique refazendo os mesmos tentando relembrar a resolução… isso é ctrlC+ctrlV e dá o famoso “BRANCO” NA PROVA.

#DICA 3: INICIE PELO SIMPLES

Comece resolvendo os problemas mais simples, aqueles que muitos estudantes chamam de “fáceis”. Há um motivo muito forte para isso. Para quem está iniciando, que precisa ganhar embasamento, é o melhor caminho. Desse modo, você vai fixar melhor o conteúdo, ficará mais motivado, autoestima elevada, pois vai conseguir resolver os problemas, chegando a resposta correta.

Também comece a estudar pela matéria mais simples, aquelas que são uma espécie de pré-requisito para outras.

Por exemplo, se você tem dificuldade no conteúdo do ensino médio, pode ser que a causa dessa dificuldade venha da deficiência de algum assunto do ensino fundamental.

Neste caso, sugiro que leia o artigo do próximo post: Como montar um programa de estudo eficaz em Matemática. .

Enfim, sempre comece pelos mais simples (assunto e problemas) e avance gradualmente por ordem de dificuldade.

#DICA 4: ESTUDE COM CALMA

Essa dica é para os apressadinhos, desesperados por resultados de qualquer forma. No começo é normal cometermos muitos erros, por isso, fique atento a cada passo executado na resolução do problema.

Estudar com calma é isso, verificar cada passo, caso esteja cometendo muitos erros.

Disponha bastante tempo para resolver exercícios (ou o máximo que puder), no início vá devagar. À medida que for resolvendo problemas e acertando-os ganhará mais confiança e rapidez na resolução. Sugiro que cronometre o tempo que demora para resolver uma lista de 10 exercícios por exemplo. E ao longo dos dias analise se tem otimizado seu tempo.

#DICA 5: VERIFICAÇÃO SUA RESPOSTA

Verificar a resposta é praticamente uma lei a ser cumprida por todos aqueles que querem aprender de fato. Mas nesse ponto, não é somente verificar se o valor da resposta está correto, é bom fazer um esforço para verificar também se o seu desenvolvimento está correto.

Durante a resolução de um problema, podemos cometer certas falhas que por incrível que pareça nos levam a resposta certa. Pode acreditar, isso acontece!

Resposta certa, mas raciocínio errado! (EM UM VESTIBULAR ISSO TE DEIXA PRA TRAS, INFELIZMENTE!!!)

Quando não nos preocupamos em verificar nosso raciocínio, o desenvolvimento em si da resolução (mais importante), isso nos leva a pensar que estamos aprendendo, quando na realidade estamos apenas nos enganando. O desenvolvimento, seu raciocínio para resolver o problema é muito mais importante, pois mostra sua habilidade, seu conhecimento sobre o assunto que precede o problema, podendo ser aplicado a outros.

Aplicações no dia a dia para Funções Algébricas de 2º Grau

Um comportamento bastante comum dos estudantes ao se depararem com fórmulas matemáticas é se perguntar: por que eu preciso saber disso? Ao contrário do que pensa a maioria, decifrar tantas fórmulas não serve apenas para ter uma boa nota na prova do Enem.

As funções de 2º grau, por exemplo, são bastante úteis em nosso cotidiano. Além de usá-las em disciplinas como física, esse conhecimento será aplicado no seu futuro profissional. Se o seu desejo é seguir a área das ciências biológicas, a função de 2º grau será aplicada para estudar a fotossíntese das plantas.

Se a sua intenção é ingressar na faculdade de contabilidade ou de administração, você vai se deparar novamente com essa função. Ela será um requisito básico para calcular a receita e o lucro de uma empresa, por exemplo.

Veja um exemplo de uma questão que poderia muito bem fazer parte de uma avaliação do curso de Administração:

Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo?

Viu só? Para mesurar os lucros da empresa, o administrador precisa conhecer a função de 2º grau.

Dicas para se dar bem no Enem!!!

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1) Dê atenção especial para as provas de Matemática e de redação, pois são as provas onde acertar mais gera mais resultado.

2) Treine a precisão na hora do exame. Já que acertar uma difícil e errar uma fácil pode baixar sua nota, fique atento para não acabar caindo nesse erro. Priorize as questões fáceis antes das difíceis.

3) Planeje bem o tempo, você tem apenas 3 minutos para responder cada questão. Não corra o risco de ficar sem tempo para responder e acabar chutando: como a TRI avalia o padrão de resposta, é possível identificar quando o candidato chuta no exame.