Pi – e o circulo

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A razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro produz o número PI. É um número que mobilizou e ainda mobiliza muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é a obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se também um mistério: o de não podermos conhecer a última casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra do alfabeto grego. Foi uma estratégia para simplificar o registro.

 

 

Problemas Resolvidos de Função Quadrática

1. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi?

Resolução:
Veja que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 representa uma parábola com a concavidade para baixo (a é menor que 0)
Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo:
t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15
Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.

Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):
t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.

Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.

2. Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

Resolução:
Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.
C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.

Vamos calcular as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
X(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60

Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.

3. Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:

Resolução:
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7

4. Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:

Resolução:
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura.
Temos:
Área = x.(x + 60)
Área = x² + 60x
Como existem 2800 pessoas e queremos 4 pessoas por m²:

2800 / (x²+60x) = 4

4.(x² + 60x) = 2800
4x² + 240x = 2800
4x² + 240x – 2800 = 0
Dividindo todos os membros por 4:
x² + 60x – 700 = 0

Utilizando as fórmulas de soma e produto:
Soma das raízes = -b/a = -60
Produto das raízes: c/a = -700
É fácil observar que as raízes são 10 e -60. Como x representa medida, descartamos o -60, e a resposta será 10 m.

5. Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real
f(x) = -x² + 7x – 10.

Resolução:
Como temos uma função quadrática, vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:
a = -1, b = 7, c = -1
Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
O valor máximo (pois a é negativo) é a média das raízes:
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5

6. Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.

Resolução:
Basta sabermos o valor de x que faz a função quadrática ter um valor máximo é a média aritmética das raízes:
Considerando que as raízes são -2 e k, e que a média deles é 5, temos:
(-2 + k)/2 = 5
-2 + k = 10
k = 10 + 2
k = 12

Como Montar um Programa de Estudo Eficaz em Matemática

Artigo de Thieres Machado

Nesse artigo você encontrara a proposta desse matemático: ele tem vídeos muito interessantes. Você pode usar as informações para estudar para provas, vestibulares e concursos. Acesse ao conteúdo clicando em: ARTIGO e encontre uma forma de montar programa de estudos ideal para você.

Dúvidas deixe sua pergunta, ok?

Problemas sem problema!!!

O maior drama dos estudantes de matemática é conseguir interpretar os problemas. Trago aqui 5 dicas valiosas para sanar o problema (em ambos sentidos, claro!!!)

#Dica 1: SEJA UM ALUNO DE ATITUDE

É muito, mas muito importante que antes de começar você de fato queira resolver o problema.
Seja proativo, muitos estudantes antes de ler o problema dizem que não sabem fazer. Sinceramente, para iniciar desse modo, não inicie. Procure antes pensar no bem que tal prática pode te trazer.
Por exemplo, se vai realizar alguma prova de concurso, pense que ao resolver problemas, você estará mais próximo de ser aprovado. (ENEM, DUDOW, ETC…)
A escolha é sua e somente sua, tenha VONTADE de agir. Olhe sempre para o lado positivo. Quais os benefícios que isso pode me trazer? Não vai ser fácil? ok… mas não será impossível também!!!

TENHA EM MENTE QUE:

  • você não precisa ser um gênio para aprender Matemática. Você só precisa querer e começar.
  • Você não precisa ter grandes habilidades em cálculo, não importa se tem ou não uma boa base em Matemática
  • não importa sua idade ou suas condições.
  • O mais importante é desenvolver a atitude necessária, isso vai te levar para mais perto do objetivo pretendido, que no caso é ter sucesso ao resolver problemas de Matemática.

#DICA 2: ESTUDE A TEORIA COM AFINCO

Todo problema de Matemática  envolve um conteúdo teórico e, se, pularmos  a parte que devemos estudar antecipadamente indo direto a resolução de exercícios não haverá eficiência na resolução. É aí que vem a dificuldade de interpretar o que se pede ficando com cara de “missão impossível”.

Geralmente a falta de conhecimento das definições, conceitos, propriedades relacionadas ao assunto que antecedem o problema causam esta dificuldade. ( Eu sei existem problemas que são complexos além da conta, mas isso é para um outro nível, mas que você será capaz de alcançar com seu empenho).

Portanto: estude cuidadosamente a teoria que envolve cada problema, procure por exemplos resolvidos e estude-os, porém não fique refazendo os mesmos tentando relembrar a resolução… isso é ctrlC+ctrlV e dá o famoso “BRANCO” NA PROVA.

#DICA 3: INICIE PELO SIMPLES

Comece resolvendo os problemas mais simples, aqueles que muitos estudantes chamam de “fáceis”. Há um motivo muito forte para isso. Para quem está iniciando, que precisa ganhar embasamento, é o melhor caminho. Desse modo, você vai fixar melhor o conteúdo, ficará mais motivado, autoestima elevada, pois vai conseguir resolver os problemas, chegando a resposta correta.

Também comece a estudar pela matéria mais simples, aquelas que são uma espécie de pré-requisito para outras.

Por exemplo, se você tem dificuldade no conteúdo do ensino médio, pode ser que a causa dessa dificuldade venha da deficiência de algum assunto do ensino fundamental.

Neste caso, sugiro que leia o artigo do próximo post: Como montar um programa de estudo eficaz em Matemática. .

Enfim, sempre comece pelos mais simples (assunto e problemas) e avance gradualmente por ordem de dificuldade.

#DICA 4: ESTUDE COM CALMA

Essa dica é para os apressadinhos, desesperados por resultados de qualquer forma. No começo é normal cometermos muitos erros, por isso, fique atento a cada passo executado na resolução do problema.

Estudar com calma é isso, verificar cada passo, caso esteja cometendo muitos erros.

Disponha bastante tempo para resolver exercícios (ou o máximo que puder), no início vá devagar. À medida que for resolvendo problemas e acertando-os ganhará mais confiança e rapidez na resolução. Sugiro que cronometre o tempo que demora para resolver uma lista de 10 exercícios por exemplo. E ao longo dos dias analise se tem otimizado seu tempo.

#DICA 5: VERIFICAÇÃO SUA RESPOSTA

Verificar a resposta é praticamente uma lei a ser cumprida por todos aqueles que querem aprender de fato. Mas nesse ponto, não é somente verificar se o valor da resposta está correto, é bom fazer um esforço para verificar também se o seu desenvolvimento está correto.

Durante a resolução de um problema, podemos cometer certas falhas que por incrível que pareça nos levam a resposta certa. Pode acreditar, isso acontece!

Resposta certa, mas raciocínio errado! (EM UM VESTIBULAR ISSO TE DEIXA PRA TRAS, INFELIZMENTE!!!)

Quando não nos preocupamos em verificar nosso raciocínio, o desenvolvimento em si da resolução (mais importante), isso nos leva a pensar que estamos aprendendo, quando na realidade estamos apenas nos enganando. O desenvolvimento, seu raciocínio para resolver o problema é muito mais importante, pois mostra sua habilidade, seu conhecimento sobre o assunto que precede o problema, podendo ser aplicado a outros.

Aplicações no dia a dia para Funções Algébricas de 2º Grau

Um comportamento bastante comum dos estudantes ao se depararem com fórmulas matemáticas é se perguntar: por que eu preciso saber disso? Ao contrário do que pensa a maioria, decifrar tantas fórmulas não serve apenas para ter uma boa nota na prova do Enem.

As funções de 2º grau, por exemplo, são bastante úteis em nosso cotidiano. Além de usá-las em disciplinas como física, esse conhecimento será aplicado no seu futuro profissional. Se o seu desejo é seguir a área das ciências biológicas, a função de 2º grau será aplicada para estudar a fotossíntese das plantas.

Se a sua intenção é ingressar na faculdade de contabilidade ou de administração, você vai se deparar novamente com essa função. Ela será um requisito básico para calcular a receita e o lucro de uma empresa, por exemplo.

Veja um exemplo de uma questão que poderia muito bem fazer parte de uma avaliação do curso de Administração:

Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo?

Viu só? Para mesurar os lucros da empresa, o administrador precisa conhecer a função de 2º grau.

Dicas para se dar bem no Enem!!!

vinilo decorativo hombre pensando

1) Dê atenção especial para as provas de Matemática e de redação, pois são as provas onde acertar mais gera mais resultado.

2) Treine a precisão na hora do exame. Já que acertar uma difícil e errar uma fácil pode baixar sua nota, fique atento para não acabar caindo nesse erro. Priorize as questões fáceis antes das difíceis.

3) Planeje bem o tempo, você tem apenas 3 minutos para responder cada questão. Não corra o risco de ficar sem tempo para responder e acabar chutando: como a TRI avalia o padrão de resposta, é possível identificar quando o candidato chuta no exame.

Matemática no ENEM

1. Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.

Rotina Juvenil Durante a semana No fim de semana
Assistir à televisão 3 3
Atividades domésticas 1 1
Atividades escolares 4 1
Atividades de lazer 2 4
Descanso, higiene e alimentação 10 12
Outras atividades 3 3

De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?

a) 19
b) 20
c) 21
d) 22
e) 23

2. Num torneio, um jogador de pingue-pongue disputou quinze partidas. Venceu seis das dez primeiras partidas e três das últimas cinco.
Na totalidade, o número de partidas que o jogador venceu corresponde a um percentual de
a) 45 %.
b) 75 %.
c) 50 %.
d) 60 %.
e) 80 %

3. “A maioria das construções brasileiras é coberta com uma estrutura de concreto chamada laje. Este tipo de cobertura ganhou a preferência dos construtores, pela faculdade de se levantar mais tarde um novo pavimento, ficando a laje como piso.”
(http://www.fazerfacil.com.br/Construcao/laje.htm; 01/04/2011)

Lorena possui uma casa a ponto laje e contratou o pedreiro “Nessabase” para fazer o serviço. Ele disse que, para preparar a mistura para fazer o concreto, são necessários cimento, pedra e areia lavada na proporção em massa de 1:3:3, ou seja, 1 kg de cimento, 3 kg de areia lavada e 3 kg de pedra. Sabe-se que os preços do cimento, da pedra e da areia lavada, por quilograma, são, respectivamente, R$ 0,56, R$ 0,04 e R$ 0,03. A produção de 2800 kg dessa mistura custará , o valor de:
a) R$ 106,40
b) R$ 232,40
c) R$ 264,00
d) R$ 308,00
e) R$ 724,00

4.Em 2013, um incêndio em Roraima devastou uma área de 13.000 km2 da Floresta Amazônica. Para que se tenha uma ideia da gravidade desse incêndio compare essa área com um quarteirão da cidade de São Paulo, tomando como referência a medida de 200 m × 200 m.
A quantidade da floresta amazônica queimada, equivalente em quarteirões, é:
a) 525.000
b) 475.000
c) 425.000
d) 375.000
e) 325.000

5. Uma pequena empresa, especializada em fabricar cintos e bolsas, produz mensalmente 1200 peças. Em um determinado mês, a produção de bolsas foi três vezes maior que a produção de cintos. Nesse caso, a quantidade de bolsas produzidas nesse mês foi

a) 300 b) 450 c) 600 d) 750 e) 900

6. Com uma frota de nove caminhões, uma transportadora levará 2880 tambores desde uma fábrica até uma loja onde o produto será vendido no varejo. Cada um dos caminhões transporta, no máximo, 40 tambores por viagem da fábrica até a loja. O número mínimo de viagens que a frota deverá fazer para efetuar o serviço é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

7. Em uma caixa e em uma cesta estavam guardadas 210 laranjas. Passando-se 8 laranjas da cesta para a caixa, cada um desses recipientes ficou com o mesmo número de laranjas. O número de laranjas que estavam guardadas na caixa, inicialmente, era:
a) 91 b) 97 c) 105 d) 113 e) 117

8. Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1 kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125 g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo?
a) R$ 35,00
b) R$ 34,00
c) R$ 33,00
d) R$ 37,00
e) R$ 36,00

9. Um anúncio de jornal divulga: Vende-se uma granja a 15 km de Natal com 90 metros de frente por 110 metros de fundos […]. Sabendo-se que 1 hectare equivale a 10.000 m2 e que o preço de 1 hectare, nessa região, é R$ 5.000,00, o valor da granja em reais é
a) 4.950,00.
b) 4.975,00.
c) 5.000,00.
d) 5.025,00
e) 5.050,00.

10. Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela qual receberiam, juntos, a importância total de R$180,00. Um deles trabalhou cinco dias; o segundo, quatro; o último, três.
Supondo-se que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o valor pago ao que trabalhou menos dias foi:
a) R$ 15,00
b) R$ 30,00
c) R$ 45,00
d) R$ 60,00
e) R$ 65,00

11. Um café é preparado e, logo depois, é servido em cinco xícaras, nas quais é colocado o mesmo tipo de açúcar.
A primeira xícara recebe 50 ml de café e 2 g de açúcar; a segunda, 70 ml de café e 3 g de açúcar; a terceira, 90 ml de café e 4 g de açúcar; a quarta, 120 ml de café e 5 g de açúcar e na quinta 90 ml de café e 3 g de açúcar
O café se apresentará mais doce na
a) primeira xícara.
b) segunda xícara.
c) terceira xícara.
d) quarta xícara.
e) quinta xícara

12. Um determinado corpo celeste é visível da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela última vez no ano de 1968. De acordo com o calendário atualmente em uso, o primeiro ano da era Cristã em que esse corpo celeste esteve visível a olho nu da Terra foi o ano
a) 15.
b) 19.
c) 23.
d) 27.
e) 31.

13. Uma pessoa que tem massa de 140 quilogramas submete-se a um regime alimentar, obtendo o seguinte resultado: nas quatro primeiras semanas, reduz 3 kg por semana; nas quatro seguintes, 2 kg por semana; daí em diante, apenas 1/2 kg por semana.
O número mínimo de semanas necessários para que a pessoa esteja com massa exatamente de 110 kg será:

a) 16
b) 20
c) 24
d) 28
e) 32

14. Suponha que um carro movido a gasolina consiga, em média, percorrer 10 km por litro, e um carro movido a álcool apenas 8 km por litro. Se o litro de gasolina custa R$ 3,00, quanto deve custar o litro de álcool para que os veículos sejam igualmente econômicos?

a) R$ 2,50.
b) R$ 2,40.
c) R$ 2,30.
d) R$ 2,25.
e) R$ 2,20.

15. Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 9 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?

a) 24 litros
b) 36 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros

16. No filme O colecionador de ossos, produzido pela Columbia Pictures Corporation — Universal Pictures, a pista deixada por um suspeito de certo delito foi a marca de uma pegada no chão. Uma personagem do filme, ciente de que a marca serviria de prova para a investigação, fotografou essa marca ao lado de uma nota de dólar, que mede aproximadamente 15 cm.
Disponível em: www.cinemenu.com.br. Acesso em: 15 jul. 2010 (adaptado).

Ao revelar a foto, essa personagem obteve uma imagem em que o comprimento da cédula de dólar media 3 cm e o da marca da pegada media 6 cm. Qual a relação numérica entre a marca no chão e a marca na imagem revelada?

a) 5 vezes maior.
b) 5 centímetros maior.
c) 9 centímetros maior.
d) 12 centímetros maior.
e) 12 vezes maior.

17. Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos.

Considerando esse caminhão carregado com 1200 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?

a) 220 tijolos
b) 240 tijolos
c) 260 tijolos
d) 280 tijolos
e) 300 tijolos

18. O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações.
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Um contribuinte que vende por R$ 40 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de

a) R$ 900,00.
b) R$ 1200,00.
c) R$ 2100,00.
d) R$ 3900,00.
e) R$ 5100,00.

19. O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice.

A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

Dados relativos à produção de vacas
Vaca Tempo de lactação
(em dias) Produção média diária de leite
(em kg) Intervalo entre partos
(em meses)
Malhada 315 14,0 15
Mamona 312 11,0 12
Maravilha 240 14,0 12
Mateira 290 13,0 13
Mimosa 264 12,0 11

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a

a) Malhada.
b) Mamona.
c) Maravilha.
d) Mateira.
e) Mimosa.

20. Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de três gota a cada um segundo. Sabe-se que cada gota de água tem volume de 0,2mL.

Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros?

a) 0,2
b) 1,2
c) 1,4
d) 12,9
e) 64,8

O número 5 na vida…

Existem diversas coleções que totalizam cinco elementos. Veja alguns exemplos:

  • Cinco, os dedos da mão
  • Cinco, os dedos do pé
  • Cinco, os títulos mundias da seleção brasileira de futebol
  • Cinco, as pétalas de uma rosa
  • Cinco, são os sentidos
  • Cinco, as vogais
  • Cinco, as pontas de uma estrela
  • Cinco, as ordens nobres da arquitetura
  • Cinco, os capitães famosos da história
  • Cinco, as linhas da pauta musical
  • Cinco, as grandes eras geológicas
  • Cinco, os poliedros regulares convexoscinco

O número 2 e seus provérbios…

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Existem diversos provérbios que envolvem o número dois. Exemplos:

“Mais vale um pássaro na mão do que dois voando”.
” Um homem avisado vale por dois“.
“Matar dois coelhos numa cajadada só”.
Dois proveitos não cabem num saco só”.
Duas vezes perdido o que ao ingrato é concebido”.
“Mais vale um pé do que duas muletas”.
“Não há dois altos sem um baixo no meio”.
Dois pilotos fazem um barco ir ao fundo”.
Dois sacos vazios não se põe em pé”.
Dois sobre um asno, sinal de bom amigo”.
Dois pesos e duas medidas”.